代数学的基本概念。

运算的性质

  1. 交换律

    设 $\circ$ 是集合 $S$ 上的二元运算，若 $\forall x, y \in S$ 都有 $x \circ y = y \circ x$，则称 $\circ$ 在 $S$ 上是可交换的，或者说运算 $\circ$ 在 $S$ 上满足交换律。

  2. 结合律

    设 $\circ$ 是集合 $S$ 上的二元运算，若 $\forall x, y, z \in S$ 都有 $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$，则称 $\circ$ 在 $S$ 上是可结合的，或者说运算 $\circ$ 在 $S$ 上满足结合律。

  3. 幂等律

    设 $\circ$ 是集合 $S$ 上的二元运算，若 $\forall x \in S$ 都有 $x \circ x = x$，则称 $\circ$ 在 $S$ 上是幂等的，或者说运算 $\circ$ 在 $S$ 上满足幂等律。

  4. 分配律

    设 $\circ$ 与 $\ast$ 是集合 $S$ 上的二元运算，若 $\forall x, y, z \in S$ 都有 $x \circ (y \ast z) = (x \ast y) \circ (x \ast z)$ 与 $(y \ast z) \circ x = (y \ast x) \circ (z \ast x)$，则称 $\circ$ 在 $S$ 上是可分配的。

  5. 吸收律

    设 $\circ$ 与 $\ast$ 是集合 $S$ 上的可交换的二元运算，若 $\forall x, y \in S$ 都有 $x \ast (x \circ y) = x$ 与 $x \circ (x \ast y) = x$，则称 $\ast$ 与 $\circ$ 是满足吸收律的，内外两种运算不一样，运算符内外个出现一次。例如： \(\forall x, y, z \in P(A), x \cap (x \cup y) = x, x \cup (x \cap y) = x\).

  6. 单位元

    设 $\circ$ 是集合 $S$ 上的二元运算，对于集合 $S$ 中的某个元素 $e$：

    • 左单位元，如果 $\forall x \in S, e \circ x = x$。
    • 右单位元，如果 $\forall x \in S, x \circ e = x$。
    • 单位元，如果 $e$ 既是左单位元又是右单位元。

    如果存在左单位元 $e_L$ 与右单位元 $e_R$，则 $e_L = e_R = e$ 且唯一。

  7. 零元

    设 $\circ$ 是集合 $S$ 上的二元运算，对于集合 $S$ 中的某个元素 $0$：

    • 左零元，如果 $\forall x \in S, 0 \circ x = 0$。
    • 右零元，如果 $\forall x \in S, x \circ 0 = 0$。
    • 零元，如果 $0$ 既是左零元又是右零元。

    如果存在左零元 $0_L$ 与右零元 $0_R$，则 $0_L = 0_R = 0$ 且唯一。

  8. 逆元

    设 $\circ$ 是集合 $S$ 上的二元运算，对于集合 $S$ 中的某个元素 $k$：

    • $x$ 的左逆元，如果 $\exists x \in S, k \circ x = e$。
    • $x$ 的右逆元，如果 $\exists x \in S, x \circ k = e$。
    • $x$ 的逆元，如果 $k$ 既是 $x$ 的左逆元又是 $x$ 的右逆元。

    并不是所有元素都有逆元。假设运算 $\circ$ 满足结合律，并且存在单位元，对于元素 $x \in S$，如果存在左逆元 $k_L$ 与右逆元 $k_R$，则 $k_L = k_R = k$ 且唯一。

代数系统

  1. 代数系统的定义

    若二元运算 $f_1, f_2, \dots, f_k$ 定义在非空集合 $S$ 上，则集合 $S$ 与这些运算一起统称为代数系统，记为 $<S, f_1, f_2, \dots, f_k>$。

  2. 同构

    设有两个代数系统 $<A, \circ>$, $<B, \ast>$，若能在集合 $A$ 与 $B$ 之间构造映射 $f$，满足如下要求：

    1. 满射：$\forall y \in B$，均 $\exists x \in A$，使得 $y = f(x)$。
    2. 单射：当 $x_1, x_2 \in A, x1 \neq x2$，有 $f(x_1), f(x_2) \in B, f(x_1) \neq f(x_2)$。
    3. 同构映射：$\forall x_1, x_2 \in A$，有 $f(x_1 \circ x_2) = f(x_1) \ast f(x_2)$。

    则称二个代数系统的结构相同， 简称同构， 记为 $A \cong B$，一个系统的运算性质与规律，可以完全迁移到另一个代数系统中。

  3. 同余

    设 $<A, \circ>$ 是一个代数系统，并在 $A$ 上定义一个等价关系 $R \subseteq A \times A$。如果 $<a_1, a_2>, <b_1, b_2> \in R$ 时均有 $<a_1 \circ b_1, a_2 \circ b_2> \in R$，则称 $R$ 为 $A$ 上关于 $\circ$ 的同余关系。

代数结构

广群

  1. 定义：对于代数系统 $<S, \circ>$，若其运算 $\circ$ 是封闭的，即 $\forall a, b \in S, a \circ b \in S$，则称此代数系统为广群。

半群 (Semigroup)

  1. 定义：对于代数系统 $<S, \circ>$，若其运算 $\circ$ 是封闭的，还是可结合的，即 $\forall a, b, c \in S, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$，则称此代数系统为半群。

  2. 子半群：设 $<S, \circ>$ 是半群，集合 $B \subseteq S$，且运算 $\circ$ 在集合 $B$ 上封闭，则 $<B, \circ>$ 是半群，这种半群称为子半群。

  3. 有限半群中存在单位元：设 $<S, \circ>$ 是半群，若 $|S|$ 即集合 $S$ 的元素有限，则必有 $a \in S$ 使得 $a \circ a = a$。若半群 $<S, \circ>$ 含有单位元则称为独异点。

群 (Group)

  1. 定义：若代数系统 $<S, \circ>$ 之运算 $\circ$ 是封闭的、可结合的、存在单位元、$\forall a \in S$ 都有逆元 $a^{-1} \in S$，则称该代数系统为群，记为 G。

  2. 有限群与无限群：若群 $<G, \circ>$ 的元素集 $G$ 有限，$|G|$ 有限，则称为有限群，否则为无限群。

  3. 平凡群：如果群 $<G, \circ>$ 的元素集 $G$ 只有单位元 $e$，则称为平凡群，记为 $<{e}, °>$。

  4. 交换群(Abel群)：若群 $<G, \circ>$ 中的运算可交换，则称为交换群或 Abel 群。

  5. 阶(周期)：设 $<G, \circ>$ 是群，$a$ 是 $G$ 中的任意元素，若 $k$ 是使得 $a^k=e$ 成立的最小正整数，则称 $k$ 为 $a$ 的阶(或周期)，记为 $|a|$，也称 $a$ 为 $k$ 阶元，若不存在这样的正整数 $k$，则称 $a$ 为无限阶元。

  6. 零元：设 $G$ 为群 $<G, \circ>$ 且 $|G| > 1$，则 $G$ 中没有零元。

  7. 方程的解：设为群 $<G, \circ>$，对于 $a, b \in G$，必存在唯一的 $x \in G$ 使得 $a \circ x = b$ 即群中方程有解！

  8. 消去律：设 $G$ 为群 $<G, \circ>$，则 $G$ 满足消去律：

    • $\forall a, b, c \in G$，若 $a \circ b = a \circ c$，则 $b = c$。
    • $\forall a, b, c \in G$，若 $b \circ a = c \circ a$，则 $b = c$。

  9. 子群：代数系统 $<G, \circ>$ 是群，$\varnothing \neq H \subseteq G$，若代数系统 $<H, \circ>$ 是群， 则称为 $<G, \circ>$ 的子群，也简称 $H$ 是 $G$ 的子群，记为 $H \le G$。若 $H \subset G$ 则称 $H$ 是 $G$ 的真子群，记为 $H < G$。

  10. 循环群：$<G, \circ>$ 是群，若 $G$ 存在一个元素 $a$，使得 $G$ 中任意元素都由 $a$ 的幂组成，则称该群为循环群。记成 $G=$，$a$ 称为该群的生成元。

    • 任何一个循环群 $«a>, \ast>$ 必是 Abel 群。
    • 设 $<G, \ast>$ 是生成元为 $a$ 的循环群且 $|G| = n$ 则 $a^n = e$。

环

  1. 定义：设 $<G, +, >$ 是代数系统，$+$ 与 $$ 是二元运算，如果

    1. $<G, +>$ 是交换群；
    2. $<G, *>$ 是半群(封闭与可结合)；
    3. 半群运算符 $*$ 对群运算符 $+$ 可分配。

    则 $<G, +, *>$ 是环。如 $<\mathbb{R}, +, *>$ 是环。

  2. 若 $<G, >$ 是半群即乘法运算 $$ 可交换，则 $<G, +, *>$ 为交换环。
  3. $<G, >$ 是半群即乘法运算 $$ 有单位元，则 $<G, +, *>$ 为幺环。
  4. 环中的元素 $a$ 如果满足 $\exists B \in G$ 且 $ab = 0 (b \neq 0)$，称$a$为零因子。如果$a$既是 左零因子，又是右零因子，称$a$为平凡的零因子，其余的零因子称为非平凡的零因子。如果$<G, +, *>$ 中没有非平凡的零因子，那么称为无零因子环。
  5. 有单位元（$\neq 0$）的无零因子的交换环称为整环。
  6. 如果$<G, +, *>$是一个环，且对于$G$的一个非空子集$G’ \subseteq G$，$<G’, +, *>$也是一个环，那么 $<G’, +, *>$成为$<G, +, *>$的一个子环。

域

  1. 定义：对于环 $<G, +, *>$ 若 $G$ 是整环，$G$ 中至少有 $2$ 个元素 ${0, a}$，若 $\forall a \in G - {0}$，在乘法运算下有逆元则为域。